フィボナッチ数列

黄金螺旋数学

こんにちは。
今回は「フィボナッチ数列」についてお話しします。

自然界における「黄金比」といわれるフィボナッチ数列。
今回のテーマは数式を使った一般化をご紹介したいと思いますので、どちらかというと中高生向けのテーマになるかも…。

Starlith
Starlith

数学が好きだよ!って方は、見ていただけると嬉しいです(*´-`)

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フィボナッチ数列とは

まずはじめに、フィボナッチ数列とはなんぞや?
というところから始まりますよね。

一言で言ってしまうと
「前の2つの数字を足した値」
になるような数列のことをいいます。

 

1、1、2、3、5、8、13、21、……

↑がそのフィボナッチ数列です。
「1+1=2」、「1+2=3」、「2+3=5」、「5+8=13」
という風に、前の二つの数字を足すとその値になることが確認できます。

漸化式の導出から一般項へ

「フィボナッチ数列」は”前の二つの数字を足すとその値になる”
ということから、

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$$

という漸化式を導き出せます。
数列の項が、n番目、n+1番目、n+2番目からなる3項間漸化式
となります。

それでは、こちらの漸化式を解き一般項を求めていきましょう。

Noel
Noel

学生の頃、この漸化式は嫌いだったな…汗

特性方程式による解法

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\tag{1}$$
の式を
$$F_{n+2} -αF_{n+1}= β(F_{n+1} – αF_n)\tag{2}$$
という式に置き換えます。
(3項間の漸化式は、二次方程式に導くような置き換えをする解法を用いて得くのが、一番簡単かと思います。←計算量は多いけどね)

このように置き換えると
$$(F_{n+1} – αF_n)$$
が公比βの等比数列で表せます。

(2)式の右辺を左辺に移行すると
$$F_{n+2} -(α+β)F_{n+1}  + αβF_n = 0\tag{3}$$
となります。

また(1)式を同じように右辺を左辺に移行すると
$$F_{n+2} – F_{n+1} – F_n = 0\tag{4}$$
となります。
これによって(3)式におけるα+β=1かつαβ=-1の対応があることが分かるかと思います。
これらを満たすようなα、βは、(4)式を二次方程式
$$x^2-x-1=0$$
に対応させたxの解となっているので、、
$$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$
となるようなα、βが定まります。

プラスの方をα、マイナスの方をβとすると(2)式より
$$F_{n+2} -αF_{n+1}  = β(F_{n+1} – αF_n)\tag{5}$$
$$F_{n+2} – βF_{n+1} = α(F_{n+1} – αF_n)\tag{6}$$
が成り立ちます。

(6)-(5)より
$$(α-β)F_n = α^n-β^n$$
$$F_n = \frac{1}{(α-β)}(α^n-β^n)\tag{7}$$
となります。

また
$$α-β = \sqrt{5}$$
より、それぞれ(7)式に代入すると
$$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(({\frac{1+\sqrt{5}}{2}})^n-({\frac{1-\sqrt{5}}{2}})^n)\tag{8}$$

となります。以上がフィボナッチ数列の一般項となります。
試しにn=1を代入するとFn=1になることが分かります。

Noel
Noel

試しにn=2,3,…など入れて計算してみくれ…!
管理人はめんどくさがりだから確認はしてないらしいぞ…(小声

 

コメント

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